ლოგარითმი - ფუნქცია მათემატიკაში, რომელიც იღებს იმ რიცხვით მნიშვნელობას, რომელიც საჭიროა, რომ ავიყვანოთ ლოგარითმის ფუძე და მივიღოთ მისივე მნიშვნელი. მას აღნიშნავენ სამი ლათინური ასოთი log.
შესავალი და ლოგარითმის განმარტება
მოცემული b დადებითი რიცხვის ლოგარითმი a ფუძით (სადაც a>0,a≠1) ეწოდება ხარისხის n მაჩვენებელს, რომელშიც უნდა ავახარისხოთ a ფუძე, რომ მივიღოთ მოცემული b რიცხვი. ამგვარად, loga b=n, თუ an=b. სხვანაირად რომ ვთქვათ, რიცხვის ლოგარითმი a ფუძით ეწოდება ხარისხის მაჩვენებელს, რომელშიც უნდა ავახარისხოთ a, რომ მივიღოთ b.
თუ a>0,a≠1, დადებით b რიცხვის ლოგარითმი a ფუძით ეწოდება ისეთ c რიცხვს (და ეს რიცხვი ერთადერთია), რომლისთვისაც, აღნიშნავენ logab=c. მაგალითად log10010=0.5, რადგან 100 უნდა ავიყვანოთ 0.5 (ანუ ამოვიღოთ ფესვი) ხარისხად, რომ მივიღოთ 10.
ლოგარითმული ფუნქციის თვისებებიდან გამომდინარეობს, რომ ყოველ დადებით რიცხვს შეესაბამება ერთადერთი ნამდვილი ლოგარითმი მოცემული ფუძით.
ლოგარითმის სახეები
არსებობს ლოგარითმების რამდენიმე გავრცელებული სახე, რომლებიც განსხვავდებიან თავიანთი ფუძით.
ათობითი ლოგარითმი
ყველაზე უფრო გავრცელებულია ათობითი ლოგარითმი (რომლის ფუძეა a=10), რომელიც ასე აღინიშნება lgb. ლოგარითმს, რომლის ფუძეა 10, აღნიშნავენ ორი ასოთი lg.
ნატურალური ლოგარითმი
გავრცელებულია აგრეთვე ნატურალური ლოგარითმი, რომლის ფუძეა ტრანსცენდენტური რიცხვი (ნეპერის რიცხვი) e=2,718281828... ასეთი ლოგარითმები „ბუნებრივად“ წარმოიქმნებიან ჰიპერბოლით შემოსაზღვრული ფართობის განსაზღვრისას (y=1/x ფუნქციის ინტეგრებისას), ამიტომ მერკატორმა e ფუძის მქონე ლოგარითმებს უწოდა „ნატურალური“, ანუ „ჰიპერბოლური“ (1667-1668).
ქვემოთ მოცემულია ყველაზე ხშირად გამოყენებული ლოგარითმების სახეები:
| ლოგარითმის სახე | ფუძე | აღნიშვნა |
|---|---|---|
| ჩვეულებრივი (ნებისმიერი ფუძით) | a (a>0, a≠1) | logab |
| ათობითი | 10 | lg b ან log b |
| ნატურალური | e (≈2.71828) | ln b |
ლოგარითმების ისტორია და ტერმინოლოგია
ლოგარითმები გამოიგონეს შოტლანდიელმა თავადმა ნეპერმა და ასტრონომიული ხელსაწყოების ოსტატმა ბიურგიმ, რომელიც კეპლერის მეგობარი იყო. ბიურგიმ ცხრილები შეადგინა 1603-1611 წლებში; გამოქვეყნდა დაახლოებით 10 წლის შემდეგ, მაგრამ შეუმჩნეველი დარჩა; აღმოაჩინეს მხოლოდ 1856 წელს. ნეპერის მიერ შემოღებული სახელწოდება („ლოგარითმი“) წარმოშობილია ბერძნული სიტყვებიდან λογοζ და αριϑμοζ - რაც სიტყვასიტყვით ნიშნავს „შეფარდების რიცხვს“. ეს იმით აიხსნება, რომ ლოგარითმები წარმოიშვა ორი მიმდევრობის წევრთა შედარებისას. მისი ლოგარითმის ფუძე ახლოსაა 1/e -თან.
ინგლისელმა მათემატიკოსმა ბრიგსმა გაამარტივა ნეპერის ცხრილი და დაარწმუნა იგი გადასულიყო ათობით ფუძეზე (1624). ლოგარითმები e ფუძით შემოიღო ლონდონში მათემატიკის მასწავლებელმა სპეიდელმა, რომელმაც 1619 წელს გამოსცა „ახალი ლოგარითმების“ ცხრილი 1-დან 1000-მდე რიცხვებისა. ნეპერის ცხრილებში რიცხვებიც და მათი ლოგარითმებიც მთელი რიცხვებია.
ტერმინებმა „ლოგარითმი“ და „ანტილოგარითმი“, რომლებიც შემოიღო ნეპერმა, ამჟამინდელი მნიშვნელობა შეიძინეს ვალისის შრომებში (1693). მახასიათებელი (ტერმინთან ერთად) პირველად ბრიგსის შრომაში გამოჩნდა (1624). ლოგარითმების ცხრილებში მახასიათებლების გამოტოვება დაიწყეს მას შემდეგ, რაც ეს გააკეთა შერვინმა თავის „მათემატიკურ ცხრილებში“ (1705). მახასიათებლის თავზე მინუს ნიშნის დაწერის ჩვევა შემოიღო ოტრედმა (1652). მანტისა (mantissa - „დანამატი“) შემოიღო ვალისმა, რომელიც ასე უწოდებდა ნებისმიერი ათწილადის წილად ნიშნებს.
სიტყვა „ფუძე“ ნასესხებია ხარისხებზე მოქმედების თეორიიდან და ლოგარითმების თეორიაში გადმოტანილია ეილერის მიერ. ნეპერი ლოგარითმის აღსანიშნავად არავითარ სიმბოლოს არ იყენებდა. შემდგომში მიღებულ შემოკლებულ აღნიშვნებს Log, log ან l (შემოღებული კეპლერის, ბრიგსის, ოტრედის მიერ შესაბამისად 1624, 1631, 1647 წლებში) ერთმანეთისაგან განუსხვავებლად იყენებდნენ მთელი საუკუნის განმავლობაში. პირველად კოშიმ წამოაყენა წინადადება ათობითი და ნატურალური ლოგარითმების აღსანიშნავად შემოეღოთ სხვადასხვა ნიშნები. თანამედროვესთან მიახლოებული აღნიშვნები შემოიღო გერმანელმა მათემატიკოსმა პრინგსხეიმმა (1893).
ლოგარითმი, როგორც მოცემული ფუძის ხარისხის მაჩვენებელი, განსაზღვრეს ვალისმა (1665), იოჰან ბერნულიმ (1694) და ჯონსმა. ალგებრის კურსში ლოგარითმები პირველად ეილერმა ჩართო (1770). 1712-1713 წლებში ლაიბნიცსა და იოჰან ბერნულს შორის წარმოიქმნა ცნობილი დავა (კამათი) უარყოფითი რიცხვების ლოგარითმების შესახებ. მათ მოჰყავდათ სხვადასხვა არგუმენტი. მაგალითად, ი. ბერნული ამტკიცებდა, რომ ln(-x)=lnx, რასაც ასაბუთებდა იმ მოსაზრებით, რომ dln(-x)=dlnx. ათობითი ანტილოგარითმების ცხრილები შეადგინეს ინგლისელმა მათემატიკოსებმა პელიმ და ვ. ვერნერმა (1630-1640 წლებში).
გამოგონება, რომელმაც მეცნიერება გადაარჩინა
ლოგარითმის თვისებები და გამოთვლის პრინციპები
ლოგარითმის ძირითადი თვისებები მნიშვნელოვნად ამარტივებს მათემატიკურ გამოთვლებს და საშუალებას იძლევა რთული ოპერაციები მარტივ ოპერაციებად გარდაიქმნას. ასევე არსებობს ახალ ფუძეზე გადასვლის ფორმულა, რომელიც საშუალებას იძლევა ნებისმიერი ლოგარითმი გადავიყვანოთ სასურველ ფუძეზე. ლოგარითმული ფუნქციის თვისებებიდან გამომდინარეობს, რომ ყოველ დადებით რიცხვს შეესაბამება ერთადერთი ნამდვილი ლოგარითმი მოცემული ფუძით.
საინტერესოა, რომ უარყოფითი რიცხვის ლოგარითმი კომპლექსური რიცხვია.
tags: #racs #a #lokharitoba #clio